stonechina0616

题目描述

C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个

城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分

为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价

格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息

之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城

市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的

过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方

式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另

一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定

这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路

为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3

号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格

买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。

现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号

以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入输出格式输入格式：

第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的

数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城

市的商品价格。

接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，

表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市

y 之间的双向道路。

输出格式：

输出文件 trade.out 共 1 行，包含 1 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，

则输出 0。

输入输出样例

输入样例#1：
5 5 4 3 5 6 1 1 2 1 1 4 1 2 3 2 3 5 1 4 5 2

输出样例#1：
5

说明

【数据范围】

输入数据保证 1 号城市可以到达 n 号城市。

对于 10%的数据，1≤n≤6。

对于 30%的数据，1≤n≤100。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市

水晶球价格≤100。

NOIP 2009 提高组 第三题

保证最优贸易的条件是从低价格的地方买入、从高价格的地方卖出，这个差价就是盈利值。

比较巧妙的方法是用SPFA处理：

1.这个人是从1到n行走，从1到n找出走到这个点可以买到的最小价格minp[i]。

2.一定要把边反向，从n到1进行SPFA找到可以卖出的最大价格maxp[i]。这一点很难理解，以样例中的数据为例，3号节点minp[3]=3，表示走到3号节点可以买到的最小价格为3，maxp[3]=6表示从n走到3最大价格为6。以上的minp[i]和maxp[i]并不意味着要从i这里进行贸易，只是从这里记录一下状态。

3.根据上述的证明，可以找到求最优贸易的方法：枚举中间节点i，求maxp[i]与minp[i]的差值，最大的差值即最大盈利。

代码：

#include<cstdio>

#include<algorithm>

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<queue>

#define rep(q,p) for (int q=1;q<=p;q++)

using namespace std;

const int maxn=1e5+5;

int n,m,a[maxn],x,y,z,ans;

vector<int>v1[maxn],v2[maxn];

int maxp[maxn],minp[maxn];

bool vis[maxn];

void SPFA_min(int st, int en)

{

memset(minp,127,sizeof(minp));

minp[1]=a[1];

queue <int> q;

vis[st]=true;

q.push(st);

while(!q.empty())

{

int tp = q.front();

q.pop();

vis[tp]=0;

for (int k=0;k<v1[tp].size();k++)

{

int ts=v1[tp][k];

if (minp[ts]>minp[tp])

{

minp[ts]=minp[tp];

if (!vis[ts])

vis[ts]=true,q.push(ts);

}

if (minp[ts]>a[ts])

{

minp[ts]=a[ts];

if (!vis[ts])

vis[ts]=true,q.push(ts);

}

}

}

}

void SPFA_max(int st, int en)

{

memset(vis,false,sizeof(vis));

maxp[1]=a[1];

queue <int> q;

vis[st]=true;

q.push(st);

while(!q.empty())

{

int tp = q.front();

q.pop();

for (int k=0;k<v2[tp].size();k++)

{

int ts=v2[tp][k];

if (maxp[ts]<maxp[tp])

{

maxp[ts]=maxp[tp];

if (!vis[ts])

vis[ts]=true,q.push(ts);

}

if (maxp[ts]<a[ts])

{

maxp[ts]=a[ts];

if (!vis[ts])

vis[ts]=true,q.push(ts);

}

}

}

}

int main()

{

freopen("in.txt","r",stdin);

scanf("%d%d",&n,&m);

rep(i,n) scanf("%d",&a[i]);

rep(i,m)

{

scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

v1[x].push_back(y);

v2[y].push_back(x);

if (z==2) v1[y].push_back(x),v2[x].push_back(y);

}

SPFA_min(1,n);

SPFA_max(n,1);

rep(i,n)

if (maxp[i]-minp[i]>ans)

ans=maxp[i]-minp[i];

printf("%d\n",ans);

return 0;

}